Μεταφορά βαρελιών (Limeno)

Ean "B" einai o arithmos vareliwn kai "N" o arithmos stasewn (iswn apostasewn) pou tha kanei....
tote ta barelia pou mporei na paei einai B*(1-1/N)^N.

I megisti posotita pou mporei na kouvalisei einai peripou B*0.3679 gia N teinei apeiro.
opou 0.3679=1/e.

Thumaste tous neperious logarithmous?

Ένας απλός τρόπος για να ανεβάσει 2,5 βαρέλια με πετρέλαιο μέχρι πάνω είναι ο εξής:
Φορτώνει ένα βαρέλι, το ανεβάζει μέχρι τη μέση της διαδρομής και το ξεφορτώνει εκεί. Το βαρέλι τότε θα περιέχει πετρέλαιο μέχρι τη μέση του.
Στη συνέχεια λύνει χειρόφρενο και κατεβαίνει στη βάση του δρόμου. Παίρνει το δεύτερο βαρέλι και ξανακάνει το ίδιο πράγμα, μέχρι να ανεβάσει και τα 10 βαρέλια μέχρι τη μέση της διαδρομής. Τότε μεταφέρει το περιεχόμενο των 5 μισογεμάτων βαρελιών στα άλλα 5 και έτσι καταλήγει να έχει 5 γεμάτα βαρέλια και πέντε άδεια. Παίρνει το κάθε γεμάτο βαρέλι και το ανεβάζει μέχρι πάνω. Έτσι τελικά θα έχει ανεβάσει 5 μισογεμάτα βαρέλια, δηλαδή συνολικά το περιεχόμενο 2,5 βαρελιών σε πετρέλαιο.

Για το δύσκολο ερώτημα πρέπει να παρατηρήσουμε πως στην προηγούμενη λύση έμειναν τελικά 5 άδεια βαρέλια στη μέση της διαδρομής και 2,5 άδεια βαρέλια στο τέλος της διαδρομής. Η βέλτιστη λύση θα έχει τα άδεια βαρέλια όσο το δυνατόν πιο κοντά στη βάση της διαδρομής και αυτό γιατί έτσι δεν θα χρειαστεί να κάψει επιπλέον πετρέλαιο για να ανεβάσει αυτά τα βαρέλια ψηλότερα. Το πετρέλαιο δηλαδή που εξοικονομεί από τη μεταφορά των άδειων βαρελιών λίγο ψηλότερα μπορεί να το φτάσει στην κορυφή του δρόμου.
Έτσι η λύση που αφήνει τα άδεια βαρέλια στα χαμηλότερα δυνατά σημεία της διαδρομής είναι η εξής:
Από την αρχή της διαδρομής ανεβάζει ένα-ένα όλα τα βαρέλια κατά x/10 μέτρα. Δηλαδή αν η διαδρομή ήταν 10 μέτρα θα τα ανέβαζε όλα ένα μέτρο. Στο σημείο αυτό αδειάζει το περιεχόμενο του τελευταίου βαρελιού μέσα στα 9 υπόλοιπα βαρέλια τα οποία και γεμίζουν, ενώ το τελευταίο βαρέλι αδειάζει τελείως. Στη συνέχεια μεταφέρει τα 9 γεμάτα βαρέλια κατά x/9 μέτρα. Πάλι αδειάζει το περιεχόμενο του τελευταίου για να γεμίσει τα 8 πρώτα. Επαναλαμβάνει αυτή τη διαδικασία, ανεβαίνοντας κάθε φορά κατά x/8, x/7, x/6 και x/5 μέτρα από την τελευταία στάση του. Σε εκείνο το σημείο θα έχει 4 γεμάτα βαρέλια, τα οποία τώρα τα ανεβάζει ένα-ένα μέχρι πάνω χωρίς άλλες μεταγγίσεις. Ο λόγος που σταματάει στο σημείο αυτό τη διαδικασία είναι γιατί δεν αδειάζει τελείως το περιεχόμενο του τελευταίου βαρελιού μέχρι την επόμενη στάση. Έτσι τελικά θα έχει ανεβάσει πετρέλαιο που αντιστοιχεί σε 3,38 γεμάτα βαρέλια. Αυτή είναι και η μέγιστη δυνατή ποσότητα.